QJEEM25Ma4d1d: JEE Main 2025 Mathematics - Class 12 JEEM25Ma4d1d Solution: Let be a twice differentiable function. If for some and , then…

$\begin{aligned}& \int_0^1 \mathrm{f}(\lambda \mathrm{x}) \mathrm{d} \lambda=\mathrm{af}(\mathrm{x}) \\& \lambda \mathrm{x}=\mathrm{t} \\& \mathrm{~d} \lambda=\frac{1}{\mathrm{x}} \mathrm{dt} \\& \frac{1}{\mathrm{x}} \int_0^{\mathrm{x}} \mathrm{f}(\mathrm{t}) \mathrm{dt}=\mathrm{af}(\mathrm{x}) \\& \int_0^{\mathrm{x}} \mathrm{f}(\mathrm{t}) \mathrm{dt}=\mathrm{axf}(\mathrm{x}) \\& \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}\left(\mathrm{x} \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})+\mathrm{f}(\mathrm{x})\right) \\& (1-\mathrm{a}) \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a} \cdot \mathrm{x} \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x}) \\& \frac{\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})}{\mathrm{f}(\mathrm{x})}=\frac{(1-\mathrm{a})}{\mathrm{a}} \frac{1}{\mathrm{x}} \\& \ell \operatorname{lnf}(\mathrm{x})=\frac{1-\mathrm{a}}{\mathrm{a}} \ell \mathrm{n} \mathrm{x}+\mathrm{c} \\& \mathrm{x}=1, \mathrm{f}(1)=1 \Rightarrow \mathrm{c}=0 \\& \mathrm{x}=16, \mathrm{f}(16)=\frac{1}{8}\end{aligned}$

$\begin{aligned}& \frac{1}{8}=(16)^{\frac{1-a}{a}} \Rightarrow-3=\frac{4-4 a}{a} \Rightarrow \mathrm{a}=4 \\& \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{-\frac{3}{4}} \\& \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=-\frac{3}{4} \mathrm{x}^{-\frac{7}{4}} \\& \therefore \quad 16-\mathrm{f}^{\prime}\left(\frac{1}{16}\right) \\& =16-\left(-\frac{3}{4}\left(2^{-4}\right)^{-7 / 4}\right) \\& =16+96=112\end{aligned}$