For real roots
a m p ; D ≥ 0 a m p ; sin 2 2 θ ≥ 4 ( sin 4 θ + cos 4 θ ) ( sin 6 θ + cos 6 θ ) \begin{aligned}& D \geq 0 \\& \sin ^2 2 \theta \geq 4\left(\sin ^4 \theta+\cos ^4 \theta\right)\left(\sin ^6 \theta+\cos ^6 \theta\right)\end{aligned} am p ; D ≥ 0 am p ; sin 2 2 θ ≥ 4 ( sin 4 θ + cos 4 θ ) ( sin 6 θ + cos 6 θ )
Put sin 2 2 θ = t \sin ^2 2 \theta=t sin 2 2 θ = t
a m p ; ⇒ t ≥ 4 ( 1 − t 2 ) ( 1 − 3 t 4 ) a m p ; 2 t ≥ ( 2 − t ) ( 4 − 3 t ) a m p ; 3 t 2 − 12 t + 8 ≤ 0 a m p ; t 2 − 4 t + 8 3 ≤ 0 a m p ; ( t − 2 ) 2 + 8 3 − 4 ≤ 0 a m p ; ( t − 2 ) 2 ≤ 4 3 a m p ; − 2 3 ≤ t − 2 ≤ 2 3 a m p ; 2 − 2 3 ≤ t ≤ 2 + 2 3 a m p ; ∵ t ∈ [ 0 , 1 ] a m p ; ⇒ 2 − 2 3 ≤ t ≤ 1 a m p ; α = 2 − 2 3 , β = 1 a m p ; ⇒ 3 [ ( α − 2 ) 2 + ( β − 1 ) 2 ] = 4 \begin{aligned}& \Rightarrow t \geq 4\left(1-\frac{t}{2}\right)\left(1-\frac{3 t}{4}\right) \\& 2 t \geq(2-t)(4-3 t) \\& 3 t^2-12 t+8 \leq 0 \\& t^2-4 t+\frac{8}{3} \leq 0 \\& (t-2)^2+\frac{8}{3}-4 \leq 0 \\& (t-2)^2 \leq \frac{4}{3} \\& -\frac{2}{\sqrt{3}} \leq t-2 \leq \frac{2}{\sqrt{3}} \\& 2-\frac{2}{\sqrt{3}} \leq t \leq 2+\frac{2}{\sqrt{3}} \\& \because t \in[0,1] \\& \Rightarrow 2-\frac{2}{\sqrt{3}} \leq t \leq 1 \\& \alpha=2-\frac{2}{\sqrt{3}}, \beta=1 \\& \Rightarrow 3\left[(\alpha-2)^2+(\beta-1)^2\right]=4\end{aligned} am p ; ⇒ t ≥ 4 ( 1 − 2 t ) ( 1 − 4 3 t ) am p ; 2 t ≥ ( 2 − t ) ( 4 − 3 t ) am p ; 3 t 2 − 12 t + 8 ≤ 0 am p ; t 2 − 4 t + 3 8 ≤ 0 am p ; ( t − 2 ) 2 + 3 8 − 4 ≤ 0 am p ; ( t − 2 ) 2 ≤ 3 4 am p ; − 3 2 ≤ t − 2 ≤ 3 2 am p ; 2 − 3 2 ≤ t ≤ 2 + 3 2 am p ; ∵ t ∈ [ 0 , 1 ] am p ; ⇒ 2 − 3 2 ≤ t ≤ 1 am p ; α = 2 − 3 2 , β = 1 am p ; ⇒ 3 [ ( α − 2 ) 2 + ( β − 1 ) 2 ] = 4