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QJEEM22Ma6d12: JEE Main 2022 Mathematics - Class 12 JEEM22Ma6d12 Solution: Let X = [ 1 1 1 ] and A = [ − 1 2 3 0 1 6 0 0 − 1 ] . For k ∈ N …
Let
Step-by-Step Verified Solution
Given A=\left[<mjx-container class="MathJax CtxtMenu_Attached_0" jax="CHTML" display="true" tabindex="0" ctxtmenu_counter="5" style="font-size: 130.9%; position: relative;"><mjx-math display="true" class="MJX-TEX" aria-hidden="true" style="margin-left: 0px; margin-right: 0px;"><mjx-mtable style="min-width: 5.056em;"><mjx-table><mjx-itable><mjx-mtr><mjx-mtd style="padding-right: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mo class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c2212"></mjx-c></mjx-mo><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-right: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c32"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c33"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr><mjx-mtr><mjx-mtd style="padding-right: 0.5em; padding-top: 0.2em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding: 0.2em 0.5em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-top: 0.2em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c36"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr><mjx-mtr><mjx-mtd style="padding-right: 0.5em; padding-top: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-right: 0.5em; padding-top: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-top: 0.2em;"><mjx-mo class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c2212"></mjx-c></mjx-mo><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr></mjx-itable></mjx-table></mjx-mtable></mjx-math><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="block"><mjx-container class="MathJax CtxtMenu_Attached_0" jax="CHTML" display="true" tabindex="0" ctxtmenu_counter="16" style="font-size: 129.3%; position: relative;"><mjx-math display="true" class="MJX-TEX" aria-hidden="true" style="margin-left: 0px; margin-right: 0px;"><mjx-mtable style="min-width: 5.056em;"><mjx-table><mjx-itable><mjx-mtr><mjx-mtd style="padding-right: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mo class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c2212"></mjx-c></mjx-mo><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-right: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c32"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c33"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr><mjx-mtr><mjx-mtd style="padding-right: 0.5em; padding-top: 0.2em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding: 0.2em 0.5em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-top: 0.2em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c36"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr><mjx-mtr><mjx-mtd style="padding-right: 0.5em; padding-top: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-right: 0.5em; padding-top: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-top: 0.2em;"><mjx-mo class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c2212"></mjx-c></mjx-mo><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr></mjx-itable></mjx-table></mjx-mtable></mjx-math><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="block"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mtable columnalign="center center center" columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mo>−</mo><mn>1</mn></mtd><mtd><mn>2</mn></mtd><mtd><mn>3</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mn>6</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mo>−</mo><mn>1</mn></mtd></mtr></mtable></math></mjx-assistive-mml></mjx-container></mjx-assistive-mml></mjx-container>\right]
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\Rightarrow A^{k}=\left[<mjx-container class="MathJax CtxtMenu_Attached_0" jax="CHTML" display="true" tabindex="0" ctxtmenu_counter="8" style="font-size: 130.9%; position: relative;"><mjx-math display="true" class="MJX-TEX" aria-hidden="true" style="margin-left: 0px; margin-right: 0px;"><mjx-mtable style="min-width: 4.021em;"><mjx-table><mjx-itable><mjx-mtr><mjx-mtd style="padding-right: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-right: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c33"></mjx-c></mjx-mn><mjx-mi class="mjx-i"><mjx-c class="mjx-c1D458 TEX-I"></mjx-c></mjx-mi><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr><mjx-mtr><mjx-mtd style="padding-right: 0.5em; padding-top: 0.2em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding: 0.2em 0.5em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-top: 0.2em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr><mjx-mtr><mjx-mtd style="padding-right: 0.5em; padding-top: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-right: 0.5em; padding-top: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-top: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr></mjx-itable></mjx-table></mjx-mtable></mjx-math><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="block"><mjx-container class="MathJax CtxtMenu_Attached_0" jax="CHTML" display="true" tabindex="0" ctxtmenu_counter="19" style="font-size: 129.3%; position: relative;"><mjx-math display="true" class="MJX-TEX" aria-hidden="true" style="margin-left: 0px; margin-right: 0px;"><mjx-mtable style="min-width: 4.021em;"><mjx-table><mjx-itable><mjx-mtr><mjx-mtd style="padding-right: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-right: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c33"></mjx-c></mjx-mn><mjx-mi class="mjx-i"><mjx-c class="mjx-c1D458 TEX-I"></mjx-c></mjx-mi><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr><mjx-mtr><mjx-mtd style="padding-right: 0.5em; padding-top: 0.2em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding: 0.2em 0.5em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-top: 0.2em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr><mjx-mtr><mjx-mtd style="padding-right: 0.5em; padding-top: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-right: 0.5em; padding-top: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-top: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr></mjx-itable></mjx-table></mjx-mtable></mjx-math><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="block"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mtable columnalign="center center center" columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>3</mn><mi>k</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>1</mn></mtd></mtr></mtable></math></mjx-assistive-mml></mjx-container></mjx-assistive-mml></mjx-container>\right]
\therefore \quad X^{\prime} A^{k} X=[111]\left[<mjx-container class="MathJax CtxtMenu_Attached_0" jax="CHTML" display="true" tabindex="0" ctxtmenu_counter="9" style="font-size: 130.9%; position: relative;"><mjx-math display="true" class="MJX-TEX" aria-hidden="true" style="margin-left: 0px; margin-right: 0px;"><mjx-mtable style="min-width: 4.021em;"><mjx-table><mjx-itable><mjx-mtr><mjx-mtd style="padding-right: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-right: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c33"></mjx-c></mjx-mn><mjx-mi class="mjx-i"><mjx-c class="mjx-c1D458 TEX-I"></mjx-c></mjx-mi><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr><mjx-mtr><mjx-mtd style="padding-right: 0.5em; padding-top: 0.2em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding: 0.2em 0.5em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-top: 0.2em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr><mjx-mtr><mjx-mtd style="padding-right: 0.5em; padding-top: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-right: 0.5em; padding-top: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-top: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr></mjx-itable></mjx-table></mjx-mtable></mjx-math><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="block"><mjx-container class="MathJax CtxtMenu_Attached_0" jax="CHTML" display="true" tabindex="0" ctxtmenu_counter="20" style="font-size: 129.3%; position: relative;"><mjx-math display="true" class="MJX-TEX" aria-hidden="true" style="margin-left: 0px; margin-right: 0px;"><mjx-mtable style="min-width: 4.021em;"><mjx-table><mjx-itable><mjx-mtr><mjx-mtd style="padding-right: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-right: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c33"></mjx-c></mjx-mn><mjx-mi class="mjx-i"><mjx-c class="mjx-c1D458 TEX-I"></mjx-c></mjx-mi><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr><mjx-mtr><mjx-mtd style="padding-right: 0.5em; padding-top: 0.2em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding: 0.2em 0.5em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-top: 0.2em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr><mjx-mtr><mjx-mtd style="padding-right: 0.5em; padding-top: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-right: 0.5em; padding-top: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-top: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr></mjx-itable></mjx-table></mjx-mtable></mjx-math><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="block"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mtable columnalign="center center center" columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>3</mn><mi>k</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>1</mn></mtd></mtr></mtable></math></mjx-assistive-mml></mjx-container></mjx-assistive-mml></mjx-container>\right]\left[<mjx-container class="MathJax CtxtMenu_Attached_0" jax="CHTML" display="true" tabindex="0" ctxtmenu_counter="10" style="font-size: 130.9%; position: relative;"><mjx-math display="true" class="MJX-TEX" aria-hidden="true" style="margin-left: 0px; margin-right: 0px;"><mjx-mtable style="min-width: 0.5em;"><mjx-table><mjx-itable><mjx-mtr><mjx-mtd style="text-align: left; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr><mjx-mtr><mjx-mtd style="text-align: left; padding-top: 0.2em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr><mjx-mtr><mjx-mtd style="text-align: left; padding-top: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr></mjx-itable></mjx-table></mjx-mtable></mjx-math><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="block"><mjx-container class="MathJax CtxtMenu_Attached_0" jax="CHTML" display="true" tabindex="0" ctxtmenu_counter="21" style="font-size: 129.3%; position: relative;"><mjx-math display="true" class="MJX-TEX" aria-hidden="true" style="margin-left: 0px; margin-right: 0px;"><mjx-mtable style="min-width: 0.5em;"><mjx-table><mjx-itable><mjx-mtr><mjx-mtd style="text-align: left; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr><mjx-mtr><mjx-mtd style="text-align: left; padding-top: 0.2em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr><mjx-mtr><mjx-mtd style="text-align: left; padding-top: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr></mjx-itable></mjx-table></mjx-mtable></mjx-math><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="block"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mtable columnalign="left" columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd></mtr></mtable></math></mjx-assistive-mml></mjx-container></mjx-assistive-mml></mjx-container>\right]=[3 k+3]
(here it shall be [33] as matrix can't be equal to a scalar)
i.e.
If is odd and apply above process, we don't get odd value of
A^{2}=\left[<mjx-container class="MathJax CtxtMenu_Attached_0" jax="CHTML" display="true" tabindex="0" ctxtmenu_counter="6" style="font-size: 130.9%; position: relative;"><mjx-math display="true" class="MJX-TEX" aria-hidden="true" style="margin-left: 0px; margin-right: 0px;"><mjx-mtable style="min-width: 3.5em;"><mjx-table><mjx-itable><mjx-mtr><mjx-mtd style="text-align: left; padding-right: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="text-align: left; padding-left: 0.5em; padding-right: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="text-align: left; padding-left: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c36"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr><mjx-mtr><mjx-mtd style="text-align: left; padding-right: 0.5em; padding-top: 0.2em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="text-align: left; padding: 0.2em 0.5em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="text-align: left; padding-left: 0.5em; padding-top: 0.2em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr><mjx-mtr><mjx-mtd style="text-align: left; padding-right: 0.5em; padding-top: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="text-align: left; padding-left: 0.5em; padding-right: 0.5em; padding-top: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="text-align: left; padding-left: 0.5em; padding-top: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr></mjx-itable></mjx-table></mjx-mtable></mjx-math><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="block"><mjx-container class="MathJax CtxtMenu_Attached_0" jax="CHTML" display="true" tabindex="0" ctxtmenu_counter="17" style="font-size: 129.3%; position: relative;"><mjx-math display="true" class="MJX-TEX" aria-hidden="true" style="margin-left: 0px; margin-right: 0px;"><mjx-mtable style="min-width: 3.5em;"><mjx-table><mjx-itable><mjx-mtr><mjx-mtd style="text-align: left; padding-right: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="text-align: left; padding-left: 0.5em; padding-right: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="text-align: left; padding-left: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c36"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr><mjx-mtr><mjx-mtd style="text-align: left; padding-right: 0.5em; padding-top: 0.2em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="text-align: left; padding: 0.2em 0.5em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="text-align: left; 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\Rightarrow A^{k}=\left[<mjx-container class="MathJax CtxtMenu_Attached_0" jax="CHTML" display="true" tabindex="0" ctxtmenu_counter="8" style="font-size: 130.9%; position: relative;"><mjx-math display="true" class="MJX-TEX" aria-hidden="true" style="margin-left: 0px; margin-right: 0px;"><mjx-mtable style="min-width: 4.021em;"><mjx-table><mjx-itable><mjx-mtr><mjx-mtd style="padding-right: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-right: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c33"></mjx-c></mjx-mn><mjx-mi class="mjx-i"><mjx-c class="mjx-c1D458 TEX-I"></mjx-c></mjx-mi><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr><mjx-mtr><mjx-mtd style="padding-right: 0.5em; padding-top: 0.2em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding: 0.2em 0.5em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-top: 0.2em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr><mjx-mtr><mjx-mtd style="padding-right: 0.5em; padding-top: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-right: 0.5em; padding-top: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-top: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr></mjx-itable></mjx-table></mjx-mtable></mjx-math><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="block"><mjx-container class="MathJax CtxtMenu_Attached_0" jax="CHTML" display="true" tabindex="0" ctxtmenu_counter="19" style="font-size: 129.3%; position: relative;"><mjx-math display="true" class="MJX-TEX" aria-hidden="true" style="margin-left: 0px; margin-right: 0px;"><mjx-mtable style="min-width: 4.021em;"><mjx-table><mjx-itable><mjx-mtr><mjx-mtd style="padding-right: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-right: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c33"></mjx-c></mjx-mn><mjx-mi class="mjx-i"><mjx-c class="mjx-c1D458 TEX-I"></mjx-c></mjx-mi><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr><mjx-mtr><mjx-mtd style="padding-right: 0.5em; padding-top: 0.2em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding: 0.2em 0.5em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-top: 0.2em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr><mjx-mtr><mjx-mtd style="padding-right: 0.5em; padding-top: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-right: 0.5em; padding-top: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-top: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr></mjx-itable></mjx-table></mjx-mtable></mjx-math><mjx-assistive-mml unselectable="on" display="block"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block"><mtable columnalign="center center center" columnspacing="1em" rowspacing="4pt"><mtr><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>3</mn><mi>k</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>1</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>1</mn></mtd></mtr></mtable></math></mjx-assistive-mml></mjx-container></mjx-assistive-mml></mjx-container>\right]
\therefore \quad X^{\prime} A^{k} X=[111]\left[<mjx-container class="MathJax CtxtMenu_Attached_0" jax="CHTML" display="true" tabindex="0" ctxtmenu_counter="9" style="font-size: 130.9%; position: relative;"><mjx-math display="true" class="MJX-TEX" aria-hidden="true" style="margin-left: 0px; margin-right: 0px;"><mjx-mtable style="min-width: 4.021em;"><mjx-table><mjx-itable><mjx-mtr><mjx-mtd style="padding-right: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c31"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-right: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c30"></mjx-c></mjx-mn><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd><mjx-mtd style="padding-left: 0.5em; padding-bottom: 0.2em;"><mjx-mn class="mjx-n"><mjx-c class="mjx-c33"></mjx-c></mjx-mn><mjx-mi class="mjx-i"><mjx-c class="mjx-c1D458 TEX-I"></mjx-c></mjx-mi><mjx-tstrut></mjx-tstrut></mjx-mtd></mjx-mtr><mjx-mtr><mjx-mtd style="padding-right: 0.5em; 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(here it shall be [33] as matrix can't be equal to a scalar)
i.e.
If is odd and apply above process, we don't get odd value of