QJEEAdv12Mae6bd: JEE Advanced 2012 Physics - Class 11 JEEAdv12Mae6bd Solution: If and are unit vectors satisfying then is

$\begin{aligned}& \text { Given, }|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2=9 \\& \Rightarrow|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2 \vec{a} \cdot \vec{b}+|\vec{b}|^2 \\&|\vec{c}|^2-2 \vec{b} \cdot \vec{c}+|\vec{c}|^2+|\vec{a}|^2-2 \vec{c} \cdot \vec{a}=9 \\& \Rightarrow 2\left(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2\right)-2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})=9 \\& \Rightarrow 2(1+1+1)-2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})=9 \\& \Rightarrow(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})=\frac{-3}{2} \quad \text{... (i)} \\& \operatorname{Now},|\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|^2 \geq 0 \\& \Rightarrow|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) \geq 0 \\& \Rightarrow 1+1+1+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) \geq 0 \\& \Rightarrow(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}) \geq \frac{-3}{2} \quad \text{... (ii)}\end{aligned}$

From (i) and (ii), we get

$\begin{array}{lr}\Rightarrow & (\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})=\frac{-3}{2} \\\Rightarrow & |\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}|=0 \\\Rightarrow & \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0 \\\Rightarrow & \vec{b}+\vec{c}=-\vec{a} \quad \text{.... (iii)}\end{array}$

$\begin{aligned}\therefore \quad|2 \vec{a}+5 \vec{b}+5 \vec{c}| & =|2 \vec{a}+5(\vec{b}+\vec{c})| \\& =|2 \vec{a}+5(-\vec{a})| \quad[\text { [from (iii)] } \\& =|-3 \vec{a}| \\\begin{aligned}& =|3 \vec{a}| \\& =3 \quad[\because \vec{a} \text { is unit vector }]\end{aligned}\end{aligned}$